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11 de febrero de 2016

Biografía completa de Alan Turing III

En este tercer post sobre la biografía completa de Alan Turing vamos a tratar aspectos biográficos de Alan Turing durante la segundad mitad de los años 30, entre 1934 a 1939.

En 1934, Alan Turing concluyó sus estudios de matemáticas. Al año siguiente obtuvo una beca de dos años del King's College. En 1936, ganó el premio Smith, que otorga la Universidad de Cambridge a jóvenes investigadores en física teórica, matemáticas o matemática aplicada, por su trabajo en teoría de probabilidad. Ese mismo año, escribió un artículo científico decisivo titulado "On computable numbers with an application to the Entscheidungsproblem" en el que hará una de las aportaciones científicas más importantes de su vida: la máquina de Turing. En 1935, Alan Turing asistió a un curso en la Universidad de Cambridge. El curso lo impartía el matemático Max Newman cuya especialidad era la topología, una especialidad de las matemáticas, que estudia "las propiedades de los objetos que se conservan cuando los transformamos de manera continua." Ambos trabaron una duradera amistad que se prolongó más allá del fin de la contienda de la Segunda Guerra Mundial.

En agosto de 1936, Alan Turing envía su artículo "On numbers with an application to the Entscheidungsproblem" a la revista Proceedings of the London Mathematical Society. En el artículo, introdujo su célebre máquina de Turing, define también los conceptos de "computable" y "no computable" e incluye algunas ideas fundamentales. Casualmente, ese mismo año, Alonzo Church publicó en la revista American Journal of Mathematics, un artículo titulado "un problema irresoluble de teoría elemental de números". Ambos matemáticos habían llegado a los mismos resultados, aunque por vías distintas: "Mientras Turing razonaba de manera muy original, considerando la clase de operaciones que de "forma mecánica" podría hacer en el mundo real una persona, por ejemplo, un oficinista que repite una tarea una y otra vez, o una máquina que suma dos números, Church razonaba de una forma clásica, dentro del mundo abstracto que es propio de los matemáticos." Alan Turing publicó sus resultados poco después que Alonzo Church los publicará, lo que le restó originalidad al tener que hacer referencia al trabajo de Alonzo Church. Estos dos artículos hoy representan las bases teóricas de la informática.

Alan Turing y Alonzo Church

En septiembre de 1936, Alan Turing viaja a Estados Unidos para realizar sus estudios de doctorado durante 2 años en el Instituto de Estudios Avanzados de la Universidad de Princeton. Alonzo Church sería el supervisor de su tesis doctoral. Fue durante esta época, cuando Alan Turing comenzó a interesarse por la posibilidad de construir su propia máquina. Fue durante su estancia en la Universidad de Princeton cuando nació su interés por el hardware. Empezó a pensar en el soporte físico de la máquina, una época en la que todavía no había ordenadores. En 1938, John von Neumann le ofrece un puesto temporal en la Universidad de Princeton. Sin embargo, Alan Turing rechazó la oferta de John von Neumann. Ese mismo verano regresó al King's College. Una vez allí, comenzó a trabajar sobre un "mecanismo analógico" para confirmar la llamada hipótesis de Riemann. En agosto de 1939, Alan Turing recibe la proposición de incorporarse al Bletchley Park en calidad de criptógrafo para descifrar los mensajes interceptores a los nazis.

Alan Turing en Princeton

19 de enero de 2016

Los años de Princeton: la relación de Alan Turing con Alonzo Church.

Los años de Princeton es el quinto capítulo del libro Rompiendo código. Vida y legado de Turing. Básicamente se centra en la estancia de Alan Turing en Princeton, su relación con el matemático Alonzo Church y la elaboración de su tesis doctoral.

En 1936, Alan Turing entregó el manuscrito del famoso "On Computable Numbers, with an application to the Entscheidungsproblem" al físico John von Newmann. En mayo de ese mismo año, recibió una copia del artículo del matemático Alonzo Church, titulado "An unsolvable problem in elementary number theory", que había sido publicado en la revista American Journal of Mathemarics, y que probaba, aunque con una aproximación diferente, las ideas de Turing sobre la problemática de la indecibilidad, es decir, la imposibilidad de decidir si una máquina de Turing se detendrá o no a través de algún tipo de algoritmo. Alonzo Church introducía en el artículo el concepto de "lambda- definibilidad" que equivalía al de computabilidad de Alan Turing. Church utilizaba el cálculo lambda para demostrar la insolubilidad del Entscheidungsproblem. Esta coincidencia generó un problema para que el artículo de Turing pudiera ser publicado en la revista Proceedings of the London Mathematical Society. Pero, finalmente pudo publicarlo cuando introdujo cambios y referencias al artículo Alonzo Church. Newmann animó a Turing a que conociera a Alonzo Church en Princeton. En setiembre de 1936, Turing partió rumbo a EE.UU. Su vida en Princeton era muy diferente a la de Cambridge. Era un ambiente más informal y chocaba con su "carácter inglés". La redacción de su tesis doctoral la inició bajo la supervisión de Alonso Church. La estancia en Princeton era sólo para un año. Princeton le ofreció permanecer un año más, e incluso lo arreglo con el King's College para que así fuera, pero Turing optó finalmente por volver a Cambridge donde siguió con la elaboración de su tesis doctoral. Inició una línea de trabajo entorno a la hipótesis de Riemann.

La hipótesis de Riemann la formuló el matemático alemán Bernhard Riemann a mediados del siglo XIX. Estudió la distribución de los números primos y observó una estrecha relación entre el orden en el que se presentan y la función zeta de Riemann- o función definida sobre los números complejos-. Demostró que probar la hipótesis de Riemann nos daría mucha información sobre los números primos. Hasta la fecha, nadie lo ha conseguido. Turing tampoco pudo avanzar en este tema. De vuelta a Princeton, Turing finalizó su tesis "Systems of logic based on ordinals" en mayo de 1938. En su tesis, introdujo varios conceptos: lógica ordinal y computación relativa. Además de la idea de oráculo que permitía estudiar problemas que no se pueden abordar con una máquina de Turing. Para concluir, la contribución entre ambos, Alan Turing y Alonzo Church, fue en las dos direcciones: "por un lado, Church ayudó a Turing a mejorar algunos aspectos que eran deficientes en su planteamiento, pero también Turing contribuyó a hacer más accesibles los resultados de Church." Un discípulo de Alonzo Church, Stephen Kleene propuso la llamada Tesis de Church- Turing, que, suponiendo una capacidad de almacenamiento ilimitada, establece que la capacidad potencial de cómputo de cualquier ordenador es similar, pero no su velocidad de cálculo que puede variar.

Alonzo Church

17 de enero de 2016

La búsqueda de la computabilidad y la formulación de la máquina de Turing

La búsqueda de la computabilidad es el cuarto capítulo del libro Rompiendo los códigos.Vida y legado de Turing. En este capítulo, se plantea, por un lado, el problema de la decibilidad o Entscheidungsproblem, y, por el otro lado, qué es y cómo funciona una máquina de Turing.

Los fundamentos de las matemáticas, que hemos expuesto anteriormente, son el "contexto histórico" en el que Alan Turing se mueve antes de participar en el curso de Max Newman sobre los fundamentos de las matemáticas. Es en el tercer punto: "¿Son computables las matemáticas?" "¿se pueden diseñar un procedimiento mecánico que, partiendo de una proposición, tras un número finito de pasos, de la conclusión de si es cierta o falsa?" donde se centraran los esfuerzos de Alan Turing. Es el llamado Entscheidungsproblem, es decir, el problema de la decisión. La cuestión fundamental del Entscheidungsproblem es: ¿podemos encontrar ese algoritmo? En la época de Turing no existía una definición precisa de algoritmo. No obstante, fue un aliciente para el propio Turing. Inmediatamente, se puso a trabajar y en 1937 se publicó un artículo transcendental para las ciencias de la computación: "On Computable Numbers, with an application to the Entscheidungsproblem." En el artículo, Turing introdujó varios conceptos: números computables, máquina computadora y máquina universal. Prueba con todo ello que el problema de decisión es insoluble. Turing "reformuló los resultados de Kurt Gödel de 1931, reemplazando el lenguaje formal basado en la aritmética de Gödel por el concepto de máquina de Turing." ¿Cómo funcionaba la máquina de Turing? "Este instrumento abstracto funciona moviéndose de un estado a otro, siguiendo un número finito de reglas concretas. Puede escribir un símbolo en la cinta o borrarla. Así, una máquina de Turing sería capaz de realizar cualquier computación matemática si esta se representa como un algoritmo." De esta manera, Turing pudo demostrar que no hay solución al Entscheidungsproblem. Concluyó a su vez que el problema de la parada es indecidible, es decir, que no es posible decidir algorítmicamente si una máquina de Turing se detendrá o no. Por otro lado, Turing describe conceptualmente qué es una máquina universal de Turing como la de un ordenador "donde la cinta desempeñaba el papel del programa en los ordenadores modernos." Y definió qué era un número computable "como un número real cuya expresión decimal podía ser producida por una máquina de Turing." También describió un número que no es computable. Dejó claro que la mayoría de los números reales no son computables.

¿Qué era realmente una máquina de Turing? Una máquina de Turing es un dispositivo abstracto, no físico. Está constituida por una serie de elementos: una cinta infinita, dividida en casillas, un dispositivo móbil, que cuenta a su vez con un cabezal que puede leer o borrar el símbolo que está impreso en la cinta. Existe además un registro capaz de almacenar un estado determinado, que viene definido a su vez por un símbolo. Los símbolos que definen el estado del dispositivo no tienen por qué coincidir con los símbolos que se pueden leer o escribir en la cinta. ¿Cómo funciona? La máquina de Turing funciona de forma mecánica y secuencial: "Primero lee el símbolo que hay en la casilla que tiene debajo. Después toma el símbolo del estado en que se encuentra. Con estos dos datos accede a una tabla, en la cual, siguiendo las instrucciones, lee el símbolo que debe escribir en la cinta, el nuevo estado al que debe pasar y si debe desplazarse a la casilla izquierda o derecha." La ejecución de una máquina de Turing seguiría indefinidamente, al menos que se detenga. Esto supondría que llega a una estado en el que se detiene, permitiendo examinar la cinta para buscar el resultado. Una máquina de Turing puede utilizarse para todo tipo de operaciones matemáticas. Es posible programarla para que simule el comportamiento de un ordenador. Cualquier máquina de Turing puede ser codificada en cualquier computador "por pequeño que sea, sería posible emular en nuestro procesador una máquina de Turing que simule un superordenador." Ésta es la idea de la máquina universal de Turing, es decir, una máquina capaz de imitar el comportamiento de cualquier otra máquina con independencia del algoritmo para el que haya sido diseñada.

máquina universal de Turing

7 de diciembre de 2015

Introducción a Rompiendo códigos. Vida y legado de Turing

Vamos a realizar una breve introducción al libro Rompiendo códigos. Vida y legado de Turing de los autores Manuel de León y Ágata Timón. 

Con la introducción, se pretende "trazar la vida del matemático británico Alan Mathison Turing" y "repasar sus logros más importantes." ¿Quién fue Alan Mathison Turing? ¿Cuáles fueron sus contribuciones a la ciencia? Más conocido como Alan Turing fue uno de los grandes matemáticos del siglo XX. Un "hombre del renacimiento" que se interesaba por todo lo que le rodeaba, "cambiando de temas y disciplinas con frecuencia." Fue un personaje decisivo en la Segunda Guerra Mundial, gracias a su trabajo como criptógrafo que aceleró el final del conflicto, al vulnerar las comunicaciones alemanas rompiendo los códigos de las máquinas Enigma, dando un golpe decisivo al exército nazi. De ahí, el nombre del libro: Rompiendo códigos. Vida y legado de Turing. Además, de su perfil como criptógrafo en la Segunda Guerra Mundial, no debemos olvidarnos de la figura de Alan Turing como genio matemático, sus contribuciones en el ámbito teórico de las matemáticas- el problema de la decibilidad o Entscheldungsproblem- y cómo buscando su solución diseñó la máquina universal de Turing, contribuyendo así, al nacimiento y a la fundamentación de las Ciencias de la Computación, y el desarrollo de aplicaciones en el ámbito práctico de las matemáticas como el desarrollo de los fundamentos de la morfogénesis - hoy en día, biología del desarrollo-. Pero, sin duda, la gran contribución de Alan Turing para la posteridad fue la introducción de los conceptos esenciales de la Inteligencia Artificial, es decir, el diseño de máquinas que piensen así como el famoso Test de Turing.
Alan Turing Rompiendo códigos